BÀI GIẢNG: MA TRẬN VÀ ỨNG DỤNG

 

1. Khái nim Ma trận

Ma trận là một bảng số hình chữ nhật gồm m hàng và n cột. Ký hiệu tổng quát: A = [a_{ij}]_{m \times n}.

Ví dụ minh họa:
Xét ma trận A cấp 2 \times 3:

    \[A = \begin{pmatrix} 1 & -5 & 0 \\ 3 & 2 & 7 \end{pmatrix}\]

  • Phần tử nằm ở hàng 2, cột 1 là a_{21} = 3.
  • Phần tử nằm ở hàng 1, cột 2 là a_{12} = -5.

2. Các phép toán với Ma trận

a. Phép cộng hai ma trận

Điều kiện: Hai ma trận phải cùng kích thước. Ta cộng các phần tử ở vị trí tương ứng: c_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.

Ví dụ:

    \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}\]

b. Phép nhân ma trận với một số

Nhân số k vào tất cả các phần tử của ma trận.

Ví dụ (với k=3):

    \[3 \cdot \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & -6 \\ 0 & 12 \end{pmatrix}\]

c. Phép nhân hai ma trận

Điều kiện: Số cột của ma trận trước bằng số hàng của ma trận sau. Phần tử c_{ij} là tích vô hướng của hàng i ma trận trước với cột j ma trận sau.

Ví dụ:

    \[\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(2)+2(1) & 1(0)+2(2) \\ 3(2)+4(1) & 3(0)+4(2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 10 & 8 \end{pmatrix}\]

3. Định thức (Determinant)

Định thức là con số đặc trưng cho ma trận vuông, ký hiệu \det(A) hoặc |A|.

Trường hợp cấp 2 (n=2)

Công thức: |A| = ad - bc.

Ví dụ:

    \[A = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 5 \end{pmatrix} \Rightarrow |A| = (3)(5) - (-1)(2) = 17\]

Trường hợp cấp 3 (n=3)

Sử dụng quy tắc Sarrus hoặc khai triển Laplace (theo hàng/cột chứa nhiều số 0).

Ví dụ (Khai triển theo cột 1):
Cho B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ 1 & 0 & 6 \end{pmatrix}

    \[|B| = 1 \cdot \begin{vmatrix} 4 & 5 \\ 0 & 6 \end{vmatrix} - 0 + 1 \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{vmatrix}\]

    \[|B| = 1(24) + 1(10-12) = 24 - 2 = 22\]

4. Ma trận nghịch đảo

Ma trận vuông A có nghịch đảo A^{-1} khi \det(A) \neq 0.

Công thức cấp 2: A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}

Ví dụ: Tìm A^{-1} của A = \begin{pmatrix} 4 & 7 \\ 2 & 6 \end{pmatrix}.
1. Tính định thức: \det(A) = 24 - 14 = 10.
2. Áp dụng công thức:

    \[A^{-1} = \frac{1}{10} \begin{pmatrix} 6 & -7 \\ -2 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.6 & -0.7 \\ -0.2 & 0.4 \end{pmatrix}\]

5. Giá trị riêng và Ứng dụng

Giá trị riêng \lambda là nghiệm của phương trình đặc trưng: \det(A - \lambda I) = 0.

Ví dụ tính toán (với n=2):
Cho A = \begin{pmatrix} 4 & 1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}.
PT đặc trưng: \det \begin{pmatrix} 4-\lambda & 1 \\ 2 & 3-\lambda \end{pmatrix} = 0

    \[\Rightarrow (4-\lambda)(3-\lambda) - 2 = 0\]

    \[\Rightarrow \lambda^2 - 7\lambda + 10 = 0\]

Giải ra ta được: \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 5.

Ứng dụng thực tiễn:

  • Cơ học: Tính toán tần số dao động riêng (tránh cộng hưởng cầu, cánh máy bay).
  • CNTT: Thuật toán Google PageRank, nén ảnh, nhận diện khuôn mặt.